🌉 Bất Đẳng Thức Lớp 10 Nâng Cao

Bài 1: Bất đăng thức và chứng minh bất đẳng thức. Để học tốt Toán 10 nâng cao, phần này giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao được biên soạn bám sát theo nội dung sách Đại số 10 nâng cao. Bài tập (trang 109-110 sgk Đại số 10 nâng cao) Bài 1 Bất đẳng thức và cách chứng minh bất đẳng thức. Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 110, 112 SGK Đại số lớp 10 nâng cao. Bạn đang xem: Bất đẳng thức lớp 10 nâng cao. Lời giải: Giả sử tam giác ABC tất cả AB = c, BC = a, AC = b. Gọi phường là nửa chu vi tam giác, ta có p. = ( a + b + c) : 2 .Ta chỉ cần chứng minh cho phường > a, các bất đẳng thức còn lại chứng minh tương tự. Thật vậy : a 0. JlLl9. Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo án Đại số nâng cao 10 - Chương VI Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Tiết 40-44 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC ĐÍCH YÊU CẦU Kiến thức - Định nghĩa và tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm và hệ quả 2. Kỹ năng - Chứng minh một bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản của bất đẳng thức. - Aùp dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức đã cho. - Aùp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cosi để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số. Tiết 40 II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò I. Oân tập bất đẳng thức 1. Khái niệm bất đẳng thức HĐ 1 Các mệnh đề dạng “a b” được gọi là bất đẳng thức. HĐ 2 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương. * Bất đẳng thức hệ quả Nếu mệnh đề “a - 3 b Hãy chỉ ra một bđt hệ quả của mệnh đề x2+12>0 * Bất đẳng thức tương đương Nếu bất đẳng thức a 3 b Hãy chỉ ra 1 bđt tương đương của bđt -x2+12-1 0 a 0, c> 0 a 0 a Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Điền dấu > Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Điền dấu = Gợi ý trả lời câu hỏi 4 Điền dấu > Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Suy ra từ định nghĩa đã học ở lớp dưới. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Cũng suy ra từ định nghĩa Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Cũng suy ra từ định nghĩa 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại định lý. + làm bài tập SGK RÚT KINH NGHIỆM . Tiết 41 II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò II. Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Bất đẳng thức cosin HĐ 4 1. Bất đẳng thức Cô – si Đlí Trung bình nhân của 2 số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b HĐ 5 2. Các hệ quả Hệ quả 1 Tổng một số dưong với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. Hệ quả 2 Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tổng xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y Ý nghĩa hình học của hệ quả 2 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn hơn. Hệ quả 3 Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y Ý nghĩa hình học của hệ quả 3 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. HĐ6 Câu hỏi Điền các dấu >, 0 hoặc MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Hãy điền các dấu ³ hoặc £ vào chỗ trống sau đây a b c d 2. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định đúng với mọi x. a b c d 3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau a b c d 4. Hãy điền các dấu >,0 à hay à là một BĐT đúng. à cả lớp cùng tham gia trả lời các bước vận dụng. 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại cách CM một BĐT. + làm bài tập SGK RÚT KINH NGHIỆM . Tiết 44 II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ mới Đẳng thức xày ra khi nào? Bg Đẳng thức xảy ra khi a = b b. Aùp dụng BĐT Cosi cho hai số dương Ta có Đẳng thức xảy ra khi a = b c. Aùp dụng BĐT Cosi, ta có Đẳng thức xảy ra khi * Hướng dẫn HS chứng minh bài 5 a à Nêu cách chứng minh? à Cách khác? HD Phân tích VT, VP đặt nhân tử chung à Dấu “=” xảy ra khi nào? * Bài 5b à Nhận xét gì về 2 số ? à Ta có thể CM như thế nào? à Nhận xét gì về tích ? à Dấu “=” xảy ra khi nào? à bài 5c tương tự. * Trả lời theo câu hỏi à Xét hiệu. à Nhân hai vế với à a = b à Hai số dương. à Aùp dụng BĐT Cosi Nêu định lý à Bằng 1. à 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại cách CM một BĐT. + làm bài tập SGK RÚT KINH NGHIỆM . ************************************************************** Tiết 45 BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ I ĐÍCH YÊU CẦU 1. Kiến thức * Nắm vững Tập hợp và các phép toán về giao, hợp, hiệu Hàm số và các tính chất đơn điệu, chẵn lẻ Các tính chất cơ bản của BĐT, BĐT Cosi cho hai số 2. Kỹ năng * Biết Xét tính đúng sai của mệnh đề. Lập mệnh đề phủ định, kéo theo tương đương. Áp dụng vào suy luận toán học. Chứng minh một BĐT II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Bài 1 Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định của nó Bài 2 Cho các mệnh đề R = “Tứ giác ABCD là hình vuông” S = “Tứ giác ABCD có AC = AB + AD” a. lập mệnh đề b. Nhận xét tính đúng, sai. Giải thích. Sửa lại R để có đúng Bài 3 Cho các hàm số sau a. Xét tính chẵn lẻ cùa f,g,h b. Xét tính đơn điệu của f c. Tìm à làm thế nào để biết mệnh đề P đúng hay sai? à tập hợp nghiệm của BPT này? à Kết luận gì về P? à Khi nào ta có mệnh đề đúng? à Các bước xét tính chẵnlẻ các hàm số? à à k không chẵn, không lẻ tương tự ta có g là hàm số chẵn, h lẻ. à Các bước xét tính đơn điệu .? à Phương pháp tìm giao, hợp, hiệu các khoảng, đoạn? à Giải BPT à à P đúng àđúng và đúng àTheo định nghĩa à àTheo định nghĩa à Nêu PP tìm tập giao, hợp các tập hợp Bài 4 Cho a,b,c>0 Chứng minh Bài 5 a. Tìm GTLN của hàm số với b. Tìm GTLN của hàm số à Các hướng biến đổi khi chứng minh một BĐT? Đúng à Áp dụng BĐT cosi 3 lần đối với câu c và d à Nêu hệ quả của BĐT Cosi KL a. Max y = à BĐT đúng BĐT cần chứng minh. àBĐT cần CM BĐT đúng à SGK 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại cách tìm giao, hợp, hiệu, cách CM một BĐT. + làm bài tập SGK RÚT KINH NGHIỆM . ************************************************************** Tiết 47 ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐÍCH YÊU CẦU 1. Kiến thức * Nắm vững Khái niệm về bất phương trình Khái niệm nghiệm và tập nghiệm của bất phương trình 2. Kỹ năng * Biết Giải được các bất phương trình đơn minh một BĐT Biết cách liên hệ nghiệm giữa nghiệm của phương trình và nghiệm của bất phương trình. II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò I. Khái niệm bất phương trình một ẩn 1. Bất phương trình một ẩn HĐ 1 Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng , 1 Trong đó fx và gx là những biến thức của x Ta gọi fx và gx lần lượt là vế trái và vế phải của bpt 1. Số thực x0 sao cho fx0 Vế trái 2x + 1 Vế phải x+2 Câu hỏi 1 Trongcác số Số nào là nghiệm, số nào không phải là nghiệm cùa pt trên. Câu hỏi 2 Giải bpt đó. Câu hỏi 3 Biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Số – 2 là nghiệm ... Cĩ 5 giá trị 25; 30; 35; 40; 45 à Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Cĩ 5 giá trị 25 xuất hiện 4 lần. 30 xuất hiện 7 lần; 35 x/hiện 9 lần 40 x/hiện 6 lần; 45 x/hiện 5 lần. HĐ 4 III. Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp. Chiều cao của 36 học sinh đơn vị cm 158 152 156 158 168 160 170 166 161 160 150 167 165 163 158 162 169 159 163 164 164 159 163 155 163 165 154 161 164 151 172 173 161 160 164 152 Năng suất lúa hè thu tạ/ha năm 1998 của 31 tỉnh Nghệ An trở vào N/suất lúa tạ/ha Tần số Tần suất % 25 30 35 40 45 4 12,9 Cộng .. 100 % Phản ánh tình hình năng suất lúa của 31 tỉnh, được gọi là bảng phân bố tần số và tần suất. Điền vào chỗ trống trong bảng B4 Lớp số đo chiều cao Tần số Tần suất % 6 16,7 Cộng 36 100% 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại thế nào là tần số, tần suất. RÚT KINH NGHIỆM . ************************************************************** Tiết 67 II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò I. Biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất HĐ 1 1 Biểu đồ tần suất hình cột HĐ2 2 Đường gấp khúc tần suất * KN giá trị đại diện của một khoảng Trêm mặt phẳng toạ độ, xác định các điểm , trong đĩ là trung bình cộng hai nút của lớp i , ta gọi là giá trị đại diện của lớp i. * KN đường gấp khúc tầ suất Vẽ các đoạn thẳng nối điểm với điểm ta thu được một đường fấp khúc, gọi là đường gấp khúc tần suất. Lớp nhiệt độ 00C Tần suất % [15;17 [17;19 [19;21 [21;23 16,7 43,3 36,7 3,3 Cộng 100 % HĐ 3 II. Biểu đồ hình quạt Các thành phần kinh tế Số phần trăm Khu vực DN nhà nước Khu vực ngồi quốc doanh Khu vực đầu tư nước ngồi 23,7 47,3 29,0 Cộng 100 % à Câu hỏi 1 Hãy tính chiều rộng của mỗi cột tân suất. à Câu hỏi 2 Hãy tìm các giá trị trung gian của mỗi lớp. à Câu hỏi 3 Tìm toạ độ đỉnh của đường gấp khúc. Hình vẽ GV nêu cách vẽ biểu đồ hình quạt như sau Bước 1 Hãy vẽ một đường trịn, xác định tâm của nĩ. Bước 2 Tính các gĩc của tâm ở mỗi hình quạt theo cơng thức trong đĩ f tần suất VD phần hình quạt biểu diễn 47,3% cĩ gĩc ở tâm là 47, » 170016’8’’ à Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Chiều rộng của mỗi cột tần suất là 2. à Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Các giá trị trung gian tương ứng là 16, 18, 20, 22. à Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Các toạ độ đỉnh tương ứng là 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại cách vẽ biểu đồ tần số, tần suất. RÚT KINH NGHIỆM . ************************************************************** Tiết 68 II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò I. Số trung bình cộng * Hai cách tính số trung bình Cĩ thể tính số trung bình cộng của các số liệu thống kê theo các cơng thức sau đây - Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất rời rạc trong đĩ lần lượt là tần số, tần suất của giá trị là số các số liệu thống kê. . - Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp trong đĩ lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i , n là số các số liệu thống kê . à Câu hỏi 1 Hãy tính số trung bình cộng của các bảng phân bố 6, 8. à Câu hỏi 2 Từ kết quả đã tính ở câu a, cĩ nhận xét gì về nhiệt độ ở Thành phố Vinh trong tháng 2 và tháng 12 của 30 năm khảo sát. à Câu hỏi 1 Dãy trên cĩ bao nhiêu số hạng ? à Câu hỏi 2 Hãy tìm số trung vị đứng thứ bao nhiêu trong dãy khơng giảm trên ? à Câu hỏi 3 Tìm số trung vị * bảng tần số cỡ áo 36 37 38 39 40 41 42 cộng Tần số 13 45 126 110 126 40 5 456 - Trong bảng trên cĩ bao nhiêu áo bán ra với số lượng lớn nhất ? - Hãy chỉ ra các mốt à Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Gọi số trung bình cộng của bảng 6, bảng 8 lần lượt là , ta tính được à Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Vì , nên cĩ thể nĩi rằng tại Thành phố Vinh, trong 30 năm được khảo sát, nhiệt độ trung bình của tháng 12 cao hơn nhiệt độ trung bình của tháng 2. à Gợi ý trả lời câu hỏi 1 465. à Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Trong dãy này, số trung vị là giá trị của số hạng thứ à Gợi ý trả lời câu hỏi 3 II. Số trung vị Giả sử ta cĩ một mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự khơng giảm. Nếu N là số lẻ thì số N đứng thứ số liệu đúng chính giữa gọi là số trung vị. Trong trường hợp N là một số chẵn, ta lấy số trung vị cộng của hai số liệu đứng thứ và làm số trung vị. Số trung vị, kí hiệu là . III. Mốt KN Mốt của một bảng phân bố tần số rời rạc là giá trị của tần số lớn nhất và được kí hiệu là . 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại số trung bình, số trung vị, mốt. RÚT KINH NGHIỆM . Tiết 69 II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Bài 1 Bài 2 à Câu hỏi 1 Hãy tính số trung bình cộng ở bài tập 1 bài 1 à Câu hỏi 2 Tìm phương sai của bài tốn này. à Câu hỏi 3 Tìm độ lệch chuẩn. à Câu hỏi 1 Tìm số trung bình cộng của điểm thi lớp 10C. à Câu hỏi 2 Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. ? à Gợi ý trả lời câu hỏi 1 HS tự tín tốn. à Gợi ý trả lời câu hỏi 2 à Gợi ý trả lời câu hỏi 3 giờ à Gợi ý trả lời câu hỏi 1 đ à Gợi ý trả lời câu hỏi 2 ; Bài 3 à Câu hỏi 3 Tìm số trung bình cộng của điểm thi lớp 10D. à Câu hỏi 4 Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. à Câu hỏi 5 Điểm lớp nào đồng đều hơn ? à Câu hỏi 1 Tìm số trung bình cộng của nhĩm 1 và nhĩm 2. à Câu hỏi 2 Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. à Câu hỏi 3 Nhĩm cá nào lớn đều hơn ? à Gợi ý trả lời câu hỏi 3 đ à Gợi ý trả lời câu hỏi 4 ; à Gợi ý trả lời câu hỏi 5 Các số liệu thống kê cĩ cùng đơn vị đo, đ ; , suy ra điểm số của các bài thi ở lớp 10D là đồng đều hơn. à Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Khối lượng trung bình của nhĩm cá mè thứ 1 là kg, của nhĩm cá mè thứ 2 là kg. à Gợi ý trả lời câu hỏi 2 ; , suy ra ; , suy ra à Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Nhĩm cá 1 cĩ khối cá đồng đều hơn. 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại số trung bình, số trung vị, mốt. RÚT KINH NGHIỆM . Tiết 70-71 II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò I. Phương sai VD1 a Khi hai dãy số liệu thống kê cĩ cùng đơn vị đo và số trung bình cộng bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, nếu phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán so với số trung bình cộng của các số liệu thống kê càng bé. b Cĩ thể tính phương sai theo các cơng thức sau đây - Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất rời rạc - Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp - Ngồi ra người ta cịn chứng minh được cơng thức sau Trong đĩ là trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê. đối với bảng phân bố rời rạc à Câu hỏi 1 Hãy tìm số trung bình cộng của dãy 1 và dãy 2. à Câu hỏi 2 Hãy so sánh các số liệu của dãy 1 và dãy 2 với số trung bình cộng. à Câu hỏi 3 Hiệu của các số của dãy và số trung bình cộng ta gọi là độ lệch. Hãy xác định các độ lệch của dãy 1 à Câu hỏi 4 Hãy tính trung bình cộng của bình phương các độ lệch của dãy 1. à Câu hỏi 1 Hãy tìm số trung bình cộng ở bảng 6. à Câu hỏi 2 Tính phương sai của bảng 6. à Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Ta thấy số trung bình cộng của dãy 1 và số trung bình cộng của dãy 2 bằng nhau. à Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Các số liệu ở dãy 1 gần với số trung bình cộng hơn, nên chúng đồng đều hơn. Khi đĩ ta nĩi các số liệu thống kê ở dãy 1 ít phân tán hơn ở dãy 2. à Gợi ý trả lời câu hỏi 3 à Gợi ý trả lời câu hỏi 4 à Gợi ý trả lời câu hỏi 1 à Gợi ý trả lời câu hỏi 2 à Gợi ý trả lời câu hỏi 1 à Gợi ý trả lời câu hỏi 2 II. Độ lệch chuẩn Phương sai và độ lệch chuẩn đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê so với trung bình cộng. Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì phải dùng vì cĩ cùng một đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu. à Câu hỏi 3 Tính độ lệch chuẩn trong bảng 6. à Gợi ý trả lời câu hỏi 3 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại phương sai, độ lệch chuẩn. RÚT KINH NGHIỆM . Tiết 72 -73 II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Bài 3 a Hãy điền vào ô trống trong bảng sau Số con 0 1 2 3 4 cộng Tần số Tấn suất 100% b. c à Câu hỏi 1 Trong 59 gia đình, gia đình có số con nhiều nhất là bao nhiêu ? Chiếm tỉ lệ bao nhiêu ? à Câu hỏi 2 Chiếm tỉ lệ cao nhất là những gia đình có mấy con ? à Câu hỏi 3 Các gia đình có từ 1 đến 3 con chiếm tỉ lệ bao nhiêu ? à Câu hỏi 4 Tìm số trung bình cộng, số trung vị và mốt. MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Người ta chọn một gia đình trong thơn A tại một địa phương để điều tra số người học hết tiểu học và thu được kết quả sau 2 3 0 4 2 5 6 3 5 5 a Kích thước mẫu là a 6; b 8; c 10; d cả ba đều sai b Tập các giá trị của mẫu cĩ số phần tử là a 6; b 8; c 10; d Cả ba đều sai 2. Người ta thống kê số xe máy của nhân viên trong cơ quan và thu được kết quả phân khối như sau Phân khối x 50 100 150 Tần số n 11 70 12 N=. Tổng số xe máy N là a 21; b 70; c 12; d 93 3. Cho các số liệu như bài 2. Hãy điền vào các ơ trống sau Giá trị x 50 100 150 Tần số n 11 70 12 N=93 Tần suất f % a ... b c 4. Hãy điền vào ơ trống bảng sau Lớp Tần số Tần suất % 11 12 4 7 3 3 N = 40 5. Để thống kê số lợn thịt được nuơi tại một địa phương. Người ta thống kê tại 30 gia đình và thu được bảng số liệu sau 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 8 a Kích thước mẫu là a 8 b 7; c 30; d Cả ba đều sai 3. Củng cố và dặn dò + nhắc lại phương sai, độ lệch chuẩn, số trung bình, trung vị. RÚT KINH NGHIỆM . Tiết 61-62 MỘT SỐ PT VÀ BPT QUY VỀ BẬC HAI ĐÍCH YÊU CẦU 1. Kiến thức Nắm vững Cách giải một số dạng pt và bpt quy về bậc hai. 2. Kỹ năng * Biết Phát hiện và xử lý một số dạng toán cơ bản. Tiết 61 II. CÁC BƯỚC LÊN LỚP tra bài cũ 2. Bài mới Nội dung bài mới Hoạt động của thầy Hoạt động của trò và bpt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Ppchung khử dấu giá trị tuyệt đối bằng 2 cách. VD1 Giải pt sau VD2 Giải bpt sau - Phương pháp chung ta làm như thế nào? -Bằng cách nào? -Đối với dạng này ta giải ntn? àKL? -Đối với dạng này ta giải ntn? àKL? àm ntn? à Khử dấugiá trị tuyệt đối à Dùng định nghĩa. à à à à Chia sẻ một số bài toán bất đẳng thức hay và khó có lời giải chi tiết dễ hiểu, giúp các em học sinh nâng cao khả năng làm dạng toán dung cơ bản gồmLựa chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức hay và khó, cùng với đó là quá trình phân tích các hướng tiếp cận bài toán và các lời giải độc chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức từ các đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp THCS, THPT và một số bất đẳng thức từ các đề thi vào lớp 10 chuyên toán trong một số năm trở lại đây .Giới thiệu các bài tập tổng hợp để các em học sinh có thể tự rèn tức - Tags bất đẳng thức, bđtỨng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm cực trịỨng dụng của một hệ quả của bất đẳng thức SchurPhương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng đẳng thứcỨng dụng nguyên lí Dirichlet trong chứng minh bất đẳng thứcMột số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức BunhiacopxkiMột số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức CauchyPhương pháp quy nạp toán học chứng minh BĐT DẠNG TOÁN 1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN 1. Phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thứcBĐT \A \ge B\ ta có thể sử dụng các cách sau Ta đi chứng minh \A - B \ge 0\. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích \A - B\ thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. 2. Các ví dụ minh họa Loại 1 Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng Ví dụ 1 Cho hai số thực \a,b,c\. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau a \ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\ b \ab \le {\left {\frac{{a + b}}{2}} \right^2}\ c \3\left {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right \ge {\left {a + b + c} \right^2}\ d \{\left {a + b + c} \right^2} \ge 3\left {ab + bc + ca} \right\ Hướng dẫn a Ta có \{a^2} + {b^2} - 2ab = {a - b^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\. Đẳng thức\ \Leftrightarrow a = b\. b Bất đẳng thức tương đương với \{\left {\frac{{a + b}}{2}} \right^2} - ab \ge 0\ \ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {\left {a - b} \right^2} \ge 0\ đúng ĐPCM. Đẳng thức xảy ra\ \Leftrightarrow a = b\ c BĐT tương đương \3\left {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\ \ \Leftrightarrow {\left {a - b} \right^2} + {\left {b - c} \right^2} + {\left {c - a} \right^2} \ge 0\ đúng ĐPCM. Đẳng thức xảy ra\ \Leftrightarrow a = b = c\ d BĐT tương đương \{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca \ge 3\left {ab + bc + ca} \right\ \ \Leftrightarrow 2\left {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right - 2\left {ab + bc + ca} \right \ge 0\ \ \Leftrightarrow {\left {a - b} \right^2} + {\left {b - c} \right^2} + {\left {c - a} \right^2} \ge 0\ đúng ĐPCM. Đẳng thức xảy ra\ \Leftrightarrow a = b = c\ Nhận xét Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác. Ví dụ 2 Cho năm số thực \a,b,c,d,e\. Chứng minh rằng \{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge ab + c + d + e\. Hướng dẫn Ta có \{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} - ab + c + d + e = \ \ = \frac{{{a^2}}}{4} - ab + {b^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - ac + {c^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - ad + {d^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - ae + {e^2}\ \ = {\frac{a}{2} - b^2} + {\frac{a}{2} - c^2} + {\frac{a}{2} - d^2} + {\frac{a}{2} - e^2} \ge 0 \Rightarrow \ đpcm. Đẳng thức xảy ra \ \Leftrightarrow b = c = d = e = \frac{a}{2}\. Loại 2 Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng \a \in \left[ {\alpha ;\beta } \right] \Rightarrow \left {a - \alpha } \right\left {a - \beta } \right \le 0\ \\left * \right\ \a,b,c \in \left[ {\alpha ;\beta } \right] \Rightarrow \left {a - \alpha } \right\left {b - \alpha } \right\left {c - \alpha } \right + \left {\beta - a} \right\left {\beta - b} \right\left {\beta - c} \right \ge 0\left {**} \right\ Ví dụ 1 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng \{a^2} + {b^2} + {c^2} c \Rightarrow ac + bc > {c^2}\. Tương tự \bc + ba > {b^2};{\rm{ }}ca + cb > {c^2}\ cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm Nhận xét * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c. Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT \a - b < c\ rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả. Ví dụ 2 Cho \a,b,c \in [0;1]\. Chứng minh \{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 1 + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\ Hướng dẫn Cách 1 Vì \a,b,c \in [0;1] \Rightarrow 1 - {a^2}1 - {b^2}1 - {c^2} \ge 0\ \ \Leftrightarrow 1 + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} - {a^2}{b^2}{c^2} \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\ * Ta có \{a^2}{b^2}{c^2} \ge 0;{\rm{ }}{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \le {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\ nên từ * ta suy ra \{a^{\rm{2}}} + {b^2} + {c^2} \le 1 + {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \le 1 + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\ đpcm. Cách 2 BĐT cần chứng minh tương đương với \{{\rm{a}}^{\rm{2}}}\left {1 - b} \right + {b^2}\left {1 - c} \right + {c^2}\left {1 - a} \right \le 1\ Mà \a,b,c \in \left[ {0;1} \right]\ \ \Rightarrow {a^2} \le a,{b^2} \le b,{c^2} \le c\ do đó \{a^2}\left {1 - b} \right + {b^2}\left {1 - c} \right + {c^2}\left {1 - a} \right \le a\left {1 - b} \right + b\left {1 - c} \right + c\left {1 - a} \right\ Ta chỉ cần chứng minh \a\left {1 - b} \right + b\left {1 - c} \right + c\left {1 - a} \right \le 1\ Thật vậy vì \a,b,c \in \left[ {0;1} \right]\ nên theo nhận xét \\left {**} \right\ ta có \abc + \left {1 - a} \right\left {1 - b} \right\left {1 - c} \right \ge 0\ \ \Leftrightarrow \\a + b + c - \left {ab + bc + ca} \right \le 1\ \ \Leftrightarrow \\a\left {1 - b} \right + b\left {1 - c} \right + c\left {1 - a} \right \le 1\ vậy BĐT ban đầu được chứng minh. DẠNG TOÁN 2 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYcôsi ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 1. Phương pháp giải Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi * Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm * BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích * Điều kiện xảy ra dấu =’ là các số bằng nhau * Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng Đối với hai số\{x^2}\,\, + \,{y^2}\,\, \ge \,\,2xy;\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2}\,\, + \,{y^2}\,\, \ge \,\,\frac{{{{x\, + \,y}^2}}}{2};\,\,\,\,\,\,\,xy \le \,\,{\left {\frac{{x + y}}{2}} \right^2}\. Đối với ba số \abc \le \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{3},\,\,abc \le {\left {\frac{{a + b + c}}{3}} \right^3}\ 2. Các ví dụ minh họa Loại 1 Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi Ví dụ 1 Cho \a,b\ là số dương thỏa mãn \{a^2} + {b^2} = 2\. Chứng minh rằng a \\left {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right\left {\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{a^2}}}} \right \ge 4\ b \{\left {a + b} \right^5} \ge 16ab\sqrt {\left {1 + {a^2}} \right\left {1 + {b^2}} \right} \ Hướng dẫn a Áp dụng BĐT côsi ta có \\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} = 2,\,\,\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{a^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{a}{{{b^2}}}.\frac{b}{{{a^2}}}} = \frac{2}{{\sqrt {ab} }}\ Suy ra \\left {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right\left {\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{a^2}}}} \right \ge \frac{4}{{\sqrt {ab} }}\ 1 Mặt khác ta có \2 = {a^2} + {b^2} \ge 2\sqrt {{a^2}{b^2}} = 2ab \Rightarrow ab \le 1\ 1 Từ 1 và 2 suy ra \\left {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right\left {\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{a^2}}}} \right \ge 4\ ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \a = b = 1\. b Ta có \{\left {a + b} \right^5} = \left {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right\left {{a^3} + 3a{b^2} + 3{a^2}b + {b^3}} \right\ Áp dụng BĐT côsi ta có \{a^2} + 2ab + {b^2} \ge 2\sqrt {2ab\left {{a^2} + {b^2}} \right} = 4\sqrt {ab} \ và \\left {{a^3} + 3a{b^2}} \right + \left {3{a^2}b + {b^3}} \right \ge 2\sqrt {\left {{a^3} + 3a{b^2}} \right\left {3{a^2}b + {b^3}} \right} = 4\sqrt {ab\left {1 + {b^2}} \right\left {{a^2} + 1} \right} \ Suy ra \\left {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right\left {{a^3} + 3a{b^2} + 3{a^2}b + {b^3}} \right \ge 16ab\sqrt {\left {{a^2} + 1} \right\left {{b^2} + 1} \right} \ Do đó \{\left {a + b} \right^5} \ge 16ab\sqrt {\left {1 + {a^2}} \right\left {1 + {b^2}} \right} \ ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \a = b = 1\. Ví dụ 2 Cho \a,b,c\ là số dương. Chứng minh rằng a \\left {a + \frac{1}{b}} \right\left {b + \frac{1}{c}} \right\left {c + \frac{1}{a}} \right \ge 8\ b \{a^2}1 + {b^2} + {b^2}1 + {c^2} + {c^2}1 + {a^2} \ge 6abc\ c \1 + a1 + b1 + c \ge {\left {1 + \sqrt[3]{{abc}}} \right^3}\ d \{a^2}\sqrt {bc} + {b^2}\sqrt {ac} + {c^2}\sqrt {ab} \le {a^3} + {b^3} + {c^3}\ Hướng dẫn a Áp dụng BĐT côsi ta có \a + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}} ,\,\,b + \frac{1}{c} \ge 2\sqrt {\frac{b}{c}} ,\,\,c + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt {\frac{c}{a}} \ Suy ra \\left {a + \frac{1}{b}} \right\left {b + \frac{1}{c}} \right\left {c + \frac{1}{a}} \right \ge 8\sqrt {\frac{a}{b}} .\sqrt {\frac{b}{c}} .\sqrt {\frac{c}{a}} = 8\ ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \a = b = c\. b Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có \1 + {a^2} \ge 2\sqrt {{a^2}} = 2a\, tương tự ta có \1 + {b^2} \ge 2b,\,\,1 + {c^2} \ge 2c\ Suy ra \{a^2}1 + {b^2} + {b^2}1 + {c^2} + {c^2}1 + {a^2} \ge 2\left {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right\ Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có \{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a \ge 3\sqrt {{a^2}b.{b^2}c.{c^2}a} = 3abc\ Suy ra \{a^2}1 + {b^2} + {b^2}1 + {c^2} + {c^2}1 + {a^2} \ge 6abc\. ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \a = b = c = 1\. c Ta có \1 + a1 + b1 + c = 1 + \left {ab + bc + ca} \right + \left {a + b + c} \right + abc\ Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có \ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{ = 3{\left {\sqrt[3]{{abc}}} \right^2}\ và \a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\ Suy ra \1 + a1 + b1 + c \ge 1 + 3{\left {\sqrt[3]{{abc}}} \right^2} + 3\sqrt[3]{{abc}} + abc = {\left {1 + \sqrt[3]{{abc}}} \right^3}\ ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \a = b = c\. d Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có \{a^2}\sqrt {bc} \le {a^2}\left {\frac{{b + c}}{2}} \right,\,\,\,{b^2}\sqrt {ac} \le {b^2}\left {\frac{{a + c}}{2}} \right,\,\,{c^2}\sqrt {ab} \le {c^2}\left {\frac{{a + b}}{2}} \right\ Suy ra \{a^2}\sqrt {bc} + {b^2}\sqrt {ac} + {c^2}\sqrt {ab} \le \frac{{{a^2}b + {b^2}a + {a^2}c + {c^2}a + {b^2}c + {c^2}b}}{2}\ 1 Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có \{a^2}b \le \frac{{{a^3} + {a^3} + {b^3}}}{3},\,\,{b^2}a \le \frac{{{b^3} + {b^3} + {a^3}}}{3},\,\,{a^2}c \le \frac{{{a^3} + {a^3} + {c^3}}}{3},\ \{c^2}a \le \frac{{{c^3} + {c^3} + {a^3}}}{3},\,\,{b^2}c \le \frac{{{b^3} + {b^3} + {c^3}}}{3},\,\,{c^2}b \le \frac{{{c^3} + {c^3} + {b^3}}}{3}\ Suy ra \{a^2}b + {b^2}a + {a^2}c + {c^2}a + {b^2}c + {c^2}b \le 2\left {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right\ 2 Từ 1 và 2 suy ra \{a^2}\sqrt {bc} + {b^2}\sqrt {ac} + {c^2}\sqrt {ab} \le {a^3} + {b^3} + {c^3}\ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \a = b = c\. Loại 2 Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi nhân chia, thêm, bớt một biểu thức để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi. Khi gặp BĐT có dạng \x + y + z \ge a + b + c\hoặc \xyz \ge abc\, ta thường đi chứng minh \x + y \ge 2a\hoặc\ab \le {x^2}\, xây dựng các BĐT tương tự rồi cộnghoặc nhân vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh. Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy rathường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên. Ví dụ Cho \a,b,c\ là số dương. Chứng minh rằng a \\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} \ge a + b + c\ b \\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\ Hướng dẫn a Áp dụng BĐT côsi ta có \\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} \ge 2\sqrt {\frac{{ab}}{c}.\frac{{bc}}{a}} = 2b\ Tương tự ta có \\frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} \ge 2c,\,\,\frac{{ac}}{b} + \frac{{ba}}{c} \ge 2a\. Cộng vế với vế các BĐT trên ta được \2\left {\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b}} \right \ge 2\left {a + b + c} \right \Leftrightarrow \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} \ge a + b + c\ ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi \a = b = c\ . b Áp dụng BĐT côsi ta có \\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{{{b^2}}}.\frac{1}{a}} = \frac{2}{b}\ Tương tự ta có \\frac{b}{{{c^2}}} + \frac{1}{b} \ge \frac{2}{c},\,\,\frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{c} \ge \frac{2}{a}\ Cộng vế với vế các BĐT trên ta được \\frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} \Leftrightarrow \frac{a}{{{b^2}}} + \frac{b}{{{c^2}}} + \frac{c}{{{a^2}}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\ ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi \a = b = c\ . Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu. Trong trường hợp các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp. Sau khi đã xem gợi ý mà các em vẫn còn gặp khó khăn thì lên lớp để hỏi các thầy cô. Đại số 10 NC Bài 29 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC B2 BĐT CÔSI I. Lý thuyết Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Bất đẳng thức Cauchy a Đối với hai số không âm Cho , ta có . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi Hệ quả * Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau * Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau b Đối với ba số không âm Cho , ta có . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi Mở rộng Bất đẳng thức Cosi với n số không âm Một số hình thức khác của bất đẳng thức Cosi Đối với hai số . Đối với ba số ; Chú ý * Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm * BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích * Điều kiện xảy ra dấu =’ là các số bằng nhau * Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng Cho học sinh áp dụng bất đăng thức Cosi chứng minh hai ví dụ sau VD a Cho a,b là hai số dương, CMR b Cho a, b, c là ba số dương, CMR Hướng dẫn khi để bài cho điều kiện a,b dương ta sẽ nghĩ đến bất đẳng thức cosi, Bất đẳng thức cosi có vế lớn hơn phải là tổng, vế nhỏ là tích. Nhìn vào bất đẳng thức phần a vế lớn đang ở dạng gì? Dạng tích Tuy nhiên bên trong đã có dạng là tổng của hai số dương vậy ta nên áp dụng bdt cosi cho hai số dương của từng ngoặc. Tương tự phần b Nhắc học sinh khi muốn dùng bđt này ta cần phải chứng minh lại. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Mức 2 a Cho là hai số dương. Chứng minh b Với . Chứng minh rằng Hướng dẫn a Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương a, b ta được 1 Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương và ta được 2 Nhân theo vế của 1 và 2 ta được đpcm b Ta có ; ; Cộng các BĐT trên theo vế ta được điều phải chứng minh Bài 4. Mức 2 Với . Chứng minh rằng Dạng vế trái của bất đẳng thức này giống với bđt nào? Vậy ta áp dụng bđt này cho ba số Hướng dẫn Ta có 1 dễ dàng suy ra từ BĐT Cô si Áp dụng 1 ta được vì Bài 2. Mức 2Cho là số dương. Chứng minh rằng Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cô si cho hai số thực dương ta có ; ; Cộng vế với vế ta được Dấu “=” xảy ra khi Bài 5. Mức 2Cho và . Chứng minh rằng a b Hướng dẫn a Ta có ; ; Cộng vế với vế ta được b Ta có ; ; Cộng vế với vế ta được Bài 6. Mức 3 Cho x, y, z là ba số không âm thỏa mãn . Chứng minh Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm , 1 và 1 ta được 1 Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm , 1 và 1 ta được 2 Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm , 1 và 1 ta được 3 Cộng vế với vế của 1, 2, 3 ta được Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm ta được Vậy đpcm Bài 7. Mức 2 Tìm GTNN của với Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cô si ta có = Dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của là 9, đạt được khi Một số bất đẳng thức đã được chứng minh thường sử dụng để để giải các bài tập BĐT cơ bản và nâng cao trong chương trình Toán đang xem Các bất đẳng thức nâng caoBất đẳng thức trong chương trình Toán THCS lớp 6, 7, 8, 9 là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT thường là bài cuối cùng trong các đề thi để phân loại học sinh, bài toán chứng minh bất đẳng thức THCS thi học sinh giỏi cấp quận huyện, tỉnh, thành thêm Soạn Bài Soạn Siêu Ngắn Sự Giàu Đẹp Của Tiếng Việt Trang 34Bất đẳng thức THCS cơ bản và nâng caoCác bất đẳng thức cấp 2 thường dùng là1. Bất đẳng thức AM-GM Arithmetic Means – Geometric MeansVới các bộ số không âm ta có{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}" title="Rendered by height="35" width="261" style="vertical-align -12px;">Dạng 1 {{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}" title="Rendered by height="35" width="261" style="vertical-align -12px;">Dạng 2 {{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}" title="Rendered by height="18" width="270" style="vertical-align -5px;">Dạng 3 Dấu “=” xảy ra khi Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM cho 2 số và 3 số2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz BunyakovskyDạng tổng quát Cho là 2n số thực tùy ý khi đóDạng 1 1Dạng 2 2Dạng 3 3Dấu “=” xảy ra ở 12Dấu “=” xảy ra ở 3Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 03. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT SchwarzCho là các số >0Ta cóDấu “=” xảy ra khi4. Bất đẳng thức Chebyshev Trê- bư-sépDạng tổng quát Nếu Hoặc Dạng 1Dạng 2Nếu hoặcDạng 1Dạng 2Bất đẳng thức Chebyshev không được sử dụng trực tiếp mà phải chứng minh lại bằng cách xét hiệuBất đẳng thức Chebyshev cho dãy số sắp thứ tự, do đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử có quan hệ thứ tự giữa các Bất đẳng thức BernoulliVới-1;r\ge 1\vee r\le 0\Rightarrow {{1+x}^{r}}\ge 1+rx" title="Rendered by height="19" width="328" style="vertical-align -5px;">Nếur>0" title="Rendered by height="14" width="73" style="vertical-align -2px;"> thìBất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM6. Bất đẳng thức NetbittỞ đây mình chỉ nêu dạng thường dùngVới x,y,z là các số thực >0Bất đẳng thức Netbitt 3 biếnDấu “=” xảy ra khi x=y=z>0BĐT Netbitt 4 biếnDấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>07. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình điều hòa AM-HM Arithmetic Means – Hamonic MeansNếu là những số thực dương thìDấu “=” xảy ra khi 8. Bất đẳng thức SchurDạng thường gặpCho a,b,c là những số không âmvới r là số thực dươngĐẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị9. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốiVới mọi số thực x,y ta cóĐẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hayVới mọi số thực x,y ta cóDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi10. Bất đẳng thức MincopxkiVới 2 bộ n số và thì Dạng 1Dạng 2 Cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có{a b c}+\sqrt{x y z} \leq \sqrt{a+xb+yc+z} \sqrt{a c}+\sqrt{b d} \leq \sqrt{a+bc+d}" title="Rendered by height="22" width="538" style="vertical-align -6px;">

bất đẳng thức lớp 10 nâng cao